科创之星

引言

当导弹划破长空，如何用一枚烟幕弹构筑防御屏障？在刚刚落幕的2025年全国大学生数学建模竞赛中，软件学院学子给出了漂亮的“数学解法”。

作为团队建模手，他与队友并肩作战72小时，将复杂的物理战场“翻译”成严谨的数学语言，最终斩获福建赛区本科组二等奖。今天，让我们跟随23级软工1班王家辉的视角，复盘这场从“现象”到“方程”的极限思维挑战。

01

建模手的核心工作：

从“现象”到“方程”

拿到赛题，我的第一反应不是“怎么算”，而是“怎么定义”。

1.坐标系：一切的起点。为了描述无人机、导弹和烟幕的运动，我做的第一个决定是：建立三维直角坐标系。原点设在目标点；导弹轨迹简化为匀速直线运动；无人机轨迹简化为匀速直线飞行；干扰弹视为无人机的质点延伸。这一步看似简单，但坐标系选得好，后续推导能少掉一半头发。

2.运动学模型：把“扔石头”写成公式。干扰弹离机后是斜抛运动。我建立了包含初速度、投放角度、起爆延时的参数方程。这里的关键难点在于：起爆时刻烟幕云团的位置。我引入了时间参数 t，将位置矢量r(t) 拆解为三个方向的分量函数，确保每一朵烟幕在空间中的位置都是时间的显函数。

3.遮蔽判据：从“视觉遮挡”到“线球相交”。这是本题的灵魂。怎么判断导弹被挡住了？我将其抽象为经典的“线段与球体相交”问题：导弹的飞行轨迹是一段线段 L；烟幕云团是一个球体 S（半径随时间扩散）。通过建立线段参数方程与球面方程，推导出判别式 Δ。当 Δ≥0 且交点在线段范围内时，判定为有效遮蔽。这一步的推导写在论文第3页，但我在草稿纸上画了整整两页的几何示意图才搞懂。

4.优化模型：从“可行解”到“最优解”。有了遮蔽判据，接下来就是优化。问题二（单弹）：我构建了以遮蔽时长最大化为目标的非线性规划模型，决策变量包括航向角、速度、投放时刻和起爆延时。问题四（三机协同）：这是典型的组合优化。我为每架飞机预生成了Pareto最优解集，再通过整数规划寻找全局最优组合，避免了暴力枚举带来的维度灾难。

02

工具与算法：建模手的武器库

作为建模手，我不直接写几千行的执行代码，但我必须懂算法逻辑，以便和编程手对接。

算法选型：针对连续空间优化，我选择了粒子群优化算法（PSO）。相比梯度下降，PSO更适合这种多峰、非凸的复杂优化问题。我还建议编程手加入了自适应惯性权重，加快后期收敛速度。

灵敏度分析：在论文中，我专门分析了风速、导弹速度波动对遮蔽效果的影响。这不仅是加分项，更是体现模型鲁棒性的关键。

软件辅助：推导公式用LaTeX，画流程图用Visio，复杂的几何关系先在GeoGebra里模拟。

03

给未来建模手的几点忠告

假设要大胆，验证要严谨。比如为了简化计算，我们假设烟幕是均匀球型扩散。但在论文中，我们必须讨论这个假设的局限性。评委看重的不是你的假设多么符合现实，而是你对假设的自知与解释。

1.模型要有层次感：不要试图用一个模型解决所有问题。从单机单弹（基础模型）到多机多弹（进阶模型），再到多对多（综合模型），层层递进。这样即使最后一个问题没完全跑通，前面的扎实工作也能保住底分。

2.与编程手“同频”：这是我最大的感悟。建模手不能只丢一个公式过去，而要告诉编程手：输入是什么，输出是什么，中间的计算逻辑是什么。我们在比赛中有个约定：“凡是论文里出现的公式，代码里必须有对应的注释”。

3.论文即逻辑：建模手的终极产出是论文。所有的推导过程，不仅要自己懂，更要让评委在15分钟的阅卷时间里看懂。清晰的公式编号、规范的变量定义、直观的结果图表，都是建模手必须死磕的细节。

04

致谢与展望

72小时，从一张白纸到一个完整的数学模型，这个过程充满了挫败感，但也充满了创造的乐趣。

作为建模手，我最大的收获不是掌握了几个算法，而是学会了用数学的眼光去拆解世界的不确定性。

感谢给力的编程手和论文手，没有你们的实现与美化，模型只是空中楼阁。

下一届省赛，希望看到更多同学投身数学建模，享受这场思维的极限运动！